Question

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2-2x-3≤0的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；

设关于x的不等式x（x-a-1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2-2x-3≤0的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；（2）若M?N，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，由x（x-a-1）＜0，
得x（x-2）＜0．解得0＜x＜2．
∴M={x|0＜x＜2}；
（2）解不等式x²-2x-3≤0，得：
N={x|-1≤x≤3}．
①当a＜-1时，
∵a+1＜0，
∴M={x|a+1＜x＜0}．
∵M?N，
∴-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1．
②当a=-1时，M=?，显然有M?N，
∴a=-1成立．
③当a＞-1时，
∵a+1＞0，
∴M={x|0＜x＜a+1}．
又M?N，
∴0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2．
综上所述，a的取值范围是[-2，2]．