Question

速度！如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点，

速度！如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点，
（1）求证：CD垂直平面A1ABB1
（2）求证：AC1平行平面CDB1
（3）线段AB上是否存在点M，使得A1M垂直平面CDB1

Answer 1

1。∵图为正三棱柱。∴BB1⊥平面ABC，故BB1⊥CD，又∵AC＝BC，泗安D为AB的中点，∴CD⊥AB。故AB相交BB1于点B
且AB与BB1在平面AA1BB1中，CD不在该平面内，∴CD⊥平面AA1BB1.
2。连接BC1与CB相交于点o。∵图为直三菱柱。∴四边形CC1BB1为正方形（AC＝BC＝CC1），故点o为BC1的中点。又∵
点D为AB的中点，∴OD为三角形BC1A的中位线，故AC1∥OD。又∵OD在平面CDB1中，所以AC1∥平面CDB1.
3。由1可得：CD⊥平面AA1BB1。∴平面CDB1⊥平面AA1BB1，故在平面AA1BB1中的任何一条直线与CD垂直。假设存在
A1M与DB1垂直，故∠BDB1＋∠AMA1＝90°。以上加设成立，故存在A1M⊥平面CDB1