已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex(其中a∈R).(Ⅰ)若x=0为f(x)的极值点,求a的值;(
已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex(其中a∈R).(Ⅰ)若x=0为f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式f(x)>(...
已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex(其中a∈R).(Ⅰ)若x=0为f(x)的极值点,求a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式f(x)>(x?1)(12x2+x+1);(Ⅲ)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,求实数a的取值范围.
展开
展开全部
(Ⅰ)因为f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex
所以f′(x)=[2ax+(a-1)2]ex+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex=[ax2+(a2+1)x+a]ex--------(2分)
因为x=0为f(x)的极值点,所以由f′(0)=ae0=0,解得a=0----------------------------(3分)
检验,当a=0时,f′(x)=xex,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.----------------------------------------(4分)
(Ⅱ) 当a=0时,不等式不等式f(x)>(x?1)(
x2+x+1)?(x-1)ex>(x-1)(
x2+x+1),
整理得(x-1)[ex-(
x2+x+1)]>0,
即
或
------------(6分)
令g(x)=)ex-(
x2+x+1),h(x)=g′(x)=ex-(x+1),h′(x)=ex-1,
当x>0时,h′(x)=ex-1>0,当x<0时,h′(x)=ex-1<0,
所以h(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,
所以h(x)>h(0)=0,即g′(x)>0,
所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0;
故ex-(
x2+x+1)>0?x>0;ex-(
x2+x+1)<0?x<0,
所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1};-------------------------(9分)
(Ⅲ) 当a≥0时,f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex,
因为x∈(1,2),所以f′(x)>0,所以f(x)在(1,2)上是增函数.----------(11分)
当a<0时,f′(x)=a(x+a)(x+
)?ex,x∈(1,2)时,f(x
所以f′(x)=[2ax+(a-1)2]ex+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex=[ax2+(a2+1)x+a]ex--------(2分)
因为x=0为f(x)的极值点,所以由f′(0)=ae0=0,解得a=0----------------------------(3分)
检验,当a=0时,f′(x)=xex,当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.----------------------------------------(4分)
(Ⅱ) 当a=0时,不等式不等式f(x)>(x?1)(
1 |
2 |
1 |
2 |
整理得(x-1)[ex-(
1 |
2 |
即
|
|
令g(x)=)ex-(
1 |
2 |
当x>0时,h′(x)=ex-1>0,当x<0时,h′(x)=ex-1<0,
所以h(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,
所以h(x)>h(0)=0,即g′(x)>0,
所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0;
故ex-(
1 |
2 |
1 |
2 |
所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1};-------------------------(9分)
(Ⅲ) 当a≥0时,f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex,
因为x∈(1,2),所以f′(x)>0,所以f(x)在(1,2)上是增函数.----------(11分)
当a<0时,f′(x)=a(x+a)(x+
1 |
a |
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询