Question

已知x0，x0+π2是函数f（x）=cos2（wx-π6）-sin2wx（ω＞0）的两个相邻的零点（1）求f(π12)的值；（2）

已知x0，x0+π2是函数f（x）=cos2（wx-π6）-sin2wx（ω＞0）的两个相邻的零点（1）求f(π12)的值；（2）若对?x∈[?7π12，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

解题过程如下：

1、f(x)=cos ^2(ωx-π/6)-sin ^2ωx(ω>0)

化简得到f（x）=[1+cos（2wx-π/3）]/2-（1-cos2wx）/2=[1.5cos2wx+√3/2sin2wx]/2

=√3/2sin（2wx+π/3）

而xo,xo+π/2是函数的两个相邻的两个零点

所以π/2=T/2 得到T=π

所以2w=2π/T=2

所以f（x）=√3/2sin（2x+π/3）

所以f（π/12）=√3/2

2、Pai/6<=x<=Pai/8

那么有0<=2x+Pai/3<=7Pai/12

故有0<=sin(2x+Pai/3)<=1

即有0<=f(x)<=根号3/2

都有|f(x)|<=m,则有m的范围是m>=根号3/2.

扩展资料

在正切函数的图像中，在角kπ 附近变化缓慢，而在接近角 （k+ 1/2）π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = （k+ 1/2）π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 （k+ 1/2）π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 （k+ 1/2）π 的时候函数接近负无穷。

另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别 是，对于这个圆的弦AB，这里的 θ 是对向角的一半，sinθ是AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ是水平距离OC，versinθ=1-cosθ是CD。tanθ是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。

cotθ是另一个切线段AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE是 exsecθ= secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

Answer 2

（1）f（x）=

1+cos(2ωx? π 3 )

2

?

1?cos2ωx

2

=

1

2

[cos(2ωx?

π

3

)+cos2ωx]
=

1

2

[(

1

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx)+cos2ωx]=

1

2

(

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx)
=

3

2

（

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx）=

3

2

sin(2ωx+

π

3

)．
由题意可知，f（x）的最小正周期T=π，
∴

2π

|2ω|

＝π，
又∵ω＞0，∴ω=1，∴f（x）=

3

2

sin(2x+

π

3

)．
∴f(

π

12

)=

3

2

sin(2×

π

12

+

π

3

)＝

3

2

sin

π

2

＝

3

2

．
（2）|f（x）-m|≤1，?f（x）-1≤m≤f（x）+1，
∵对?x∈[?

7π

12

，0]，都有|f（x）-m|≤1，
∴m≥f（x）_max-1且m≤f（x）_min+1，
∵-

7π

12

≤x≤0，∴?

5π

6

≤2x+

π

3

≤

π

3

，∴?1≤sin(2x+

π

3

)≤

3

2

，
∴-

3

2

≤

3

2

sin(2x+

π

3

)≤

3

4

，
即f（x）_max=

3

4

，f（x）_min=?

3

2

，
∴-

1

4

≤m≤1?

3

2

．