Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线 的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ

已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线 的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线 交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得 始终平分 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

试题分析：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为： ，先由已知条件“短轴长为 ”，求得 ，再由已知条件“有一个焦点与抛物线 的焦点重合”，求得 ，则 ，从而得到椭圆方程；(Ⅱ)设直线方程为： ，与椭圆方程联立方程组求得 (※)，假设存在定点 使得 始终平分 ，则有 ，将对应点的坐标代入，结合直线方程以及(※)化简求得 ，从而无论 如何取值，只要 就可保证式子成立，进而得出 点坐标. 试题解析：(Ⅰ)∵椭圆的短轴长为 ， ∴ ，解得 ， 又抛物线 的焦点为 ， ∴ ，则 ， ∴所求椭圆方程为： ． (Ⅱ)设 ： ，代入椭圆方程整理得： 则 ，假设存在定点 使得 始终平分 ， 则 ①， 要使得①对于 恒成立，则 ， 故存在定点 使得 始终平分 ，它的坐标为 ．