Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a+cb＝sinA?sinBsinA?sinC（1）求角C；（2）若c＝3，a+

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a+cb＝sinA?sinBsinA?sinC（1）求角C；（2）若c＝3，a+b＝3，求△ABC的面积S△ABC．

Answer 1

（1）

a+c

b

＝

sinA?sinB

sinA?sinC

可化简为：
（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），
展开得sinA（a-b+c）-sinC（a+c）+bsinB=0，
由正弦定理：sinA=

a

2R

，sinC=

c

2R

，sinB=

b

2R

得：

a

2R

（a-b+c）-

c

2R

（a+c）+b

b

2R

=0，
整理得c²=a²+b²-ab；
由余弦定理知，c²=a²+b²-2abcosC，
故cosC=

1

2

，且角C为△ABC中内角，
故∠C=

π

3

．
（2）若a+b=3，则a²+b²+2ab=9，
由（1）知c²=a²+b²-ab，
故ab=3+

c2

3

，
∵c=

3

，
∴ab=4，
又∵∠C=

π

3

，故sin

π

3

=

3

2

，
故S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．