Question

已知函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R，求实数a的取值范围

要详细过程

Answer 1

答：
f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1]定义域为R
则真数g(x)=(a²-1)x²+(a+1)x+1>0恒成立
1）a²-1=0并且a+1=0即a=-1时，g(x)=1>0，满足
2）当a²-1=0并且a+1≠0即a=1时，g(x)=2x+1>0在R上不恒成立，不满足
3）当a²-1<0时，抛物线g(x)开口向下，在R上总存在x使得g(x)<0，不满足
4）当a²-1>0时，g(x)无零点：
判别式=(a+1)²-4(a²-1)<0
3a²-2a-5>0
(3a-5)(a+1)>0
a<-1或者a>5/3
综上所述，a<=-1或者a>5/3

Answer 2

要使f(x)的定义域为R，则真数部分在x∈R上恒大于0，分两种情况
① a²-1>0 且 "判别式" < 0
从而有 (a+1)²-4(a²-1) < 0 => -3a²+2a+5 < 0 => a> 5/3 或 a<-1
② a²-1=0 此时 必须满足 a+1 = 0 所以 a = -1
因此综合起来范围就是 a> 5/3 或 a≤-1

Answer 3

令g(x)=(a²-1)x²+(a+1)x+1

函数f(x)=lg[(a²-1)x²+(a+1)x+1],若其定义域为R
即g(x)=(a²-1)x²+(a+1)x+1>0在R上恒成立
1)
当a²-1=0且a+1≠0即a=1
f(x)=lg(2x+1)的定义域不为R(舍)
2)
当a²-1=0且a+1=0即a=-1
f(x)=lg1=0的定义域为R
3)
当a²-1≠0即a≠±1
a²-1>0
△=(a+1)²-4(a²-1)<0