请高数大人解答下以下难题
设z=xy²+e^(x-y)；求∂z/∂x；∂z/∂y；
解：∂z/∂x=y²+e^(x-y)；∂z/∂y=2xy-e^(x-y)；
设f具有二阶连续偏导数，z=f(xlny，y-x)，求dz
解：设z=f(u，v)，u=xlny，v=y-x；则：
dz=[(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)]dx+[(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)dy
=[(lny)(∂f/∂u)-(∂f/∂v)]dx+[(x/y)(∂f/∂u)+(∂f/∂v)]dy
计算二重积分【D】∫∫(3x+2y)dxdy；其中D是由x=0，y=0，x+y=1所围成的区域。
解：原式=【0，1】∫dy【0，1-y】∫(3x+2y)dx=【0，1】∫[(3/2)x²+2yx]【0，1-y】dy
=【0，1】∫[(3/2)(1-y)²+2y(1-y)]dy=【0，1】[(3/2)∫(y-1)²d(y-1)+2∫(y-y²)dy]
=[(1/2)(y-1)³+2(y²/2-y³/3)]【0，1】=2(1/2-1/3)=1/3
求微分方程dy/dx-y=xe^x满足y(0)=1的特解
解：先求齐次方程dy/dx-y=0的通解：分离变量得dy/y=dx；积分之，得lny=x+lnC₁；
故得通解y=C₁e^x；将C₁换成x的函数u，得y=ue^x............(1)
将(1)对x取导数得dy/dx=u'e^x+ue^x...........(2)
将(1)和(2)代入原方程得u'e^x+ue^x-ue^x=xe^x；
化简得u'e^x=xe^x；故得du/dx=x，du=xdx，u=(1/2)x²+C；
代入(1)式即得原方程的通解为y=[(1/2)x²+C]e^x；代入初始条件得C=1；
故得特解为y=[(1/2)x²+1]e^x
解：由于u‹n›=ln[1+1/√n(n²+1)]是一个单调递减的函数，因此可用哥西积分判别法：
该级数与积分【0，+∞】∫ln[1+1/√x(x²+1)]dx具有相同的敛散性。过程太烦杂，你自己作吧！
解：收敛半径R=n→+∞lim∣2ⁿ/(2n+1)][(2n+3)/2ⁿ⁺¹∣=n→+∞lim∣(2n+3)/[2(2n+1)]∣
=n→+∞lim∣(2n+3)/(4n+2)∣=1/2；
在区间端点x=1/2上，级数变为∑1/[(2n+1)2ⁿ]是收敛的；在端点x=-1/2，级数变为∑(-1)ⁿ/[(2n+1)2ⁿ]也是收敛的；故收敛区间为[-1/2，1/2]；
解：设第二中机床生产x台，那么第一中生产8-x台，于是总成本C有等式：
C=(8-x)²+2x²-x(8-x)=4x²-24x+64=4(x²-6x+16)=4[(x-3)²-9+16]=4(x-3)²+28
故当x=3时能使总成本最低，最低为28；即第一种为5台，第二种为3台时总成本最低。
已知u=(y-z)(z-x)(x-y)，证明∂u/∂x+∂u/∂y+∂u/∂z=0
证明：∂u/∂x=-(y-z)；∂u/∂y=-(z-x)；∂u/∂z=-(x-y)
故∂u/∂x+∂u/∂y+∂u/∂z=-(y-z)-(z-x)-(x-y)=-y+z-z+x-x+y=0
证明级数【0，+∞】∑[(lnn)/n²]收敛
证明：由于lnn=√n；所以(lnn)/n²<(√n)/n²=1/n^(3/2)；3/2>1，故P级数【0，+∞】∑1/n^(3/2)收
敛，因此级数【0，+∞】∑[(lnn)/n²]收敛。
