Question

在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.

求证：PM＋PN＝PQ.

Answer 1

过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的
平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG.
由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC
两边距离相等.有KQ＝PN. 显然,＝＝,可知PG∥EC.
由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.
这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.

Answer 2

证明：如图，过点P作AB的平行线交BD于F，过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G，连PG
∵BD平分∠ABC
∴点F到AB、BC两边距离相等
∴KQ=PN
∵
EP BF CG
PD= FD=GD
∴PG∥EC
∵CE平分∠BCA
∴GP平分∠FGA
∴PK=PM
∴PM+PN=PK+KQ=PQ
希望对你能有所帮助。