Question

已知函数f（x）=x2?2x+ax，x∈（0，2]，其中常数a＞0．（1）当a=4时，证明函数f（x）在（0，2]上是减函数

已知函数f（x）=x2?2x+ax，x∈（0，2]，其中常数a＞0．（1）当a=4时，证明函数f（x）在（0，2]上是减函数；（2）求函数f（x）的最小值．

Answer 1

（1）当a=4时，f(x)＝x+

4

x

?2，
任取0＜x₁＜x₂≤2，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

4

x1

?x2?

4

x2

=

(x1?x2)(x1x2?4)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂≤2，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在（0，2]上是减函数；
（2）f(x)＝x+

a

x

?2≥2

a

?2，当且仅当x＝

a

时等号成立，
当0＜

a

≤2，即0＜a≤4时，f（x）的最小值为2

a

?2；
当

a

＞2，即a＞4时，f（x）在（0，2]上单调递减，
所以当x=2时，f（x）取得最小值为

a

2

，
综上所述：f(x)min＝

2 a ?2，0＜a≤4 a 2 ，a＞4

．