如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1与ABA1所成二...
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）若AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．
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证明：1）见下图。连结AB1交A1B于F；连结A1C交AC1于G；连结FG，则FG是△A1BC中，BC边的中位线；FG//BC，且FG=BC/2=BD（D是BC的中点）；所以四边形FBDG是平行四边形；BF//DG，DG∈平面C1AD，A1B∉平面C1AD；所以A1B//平面C1AD。
2）以A为原点O，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz系统。点A1(0,0,2),B(1,0,0); A(0,0,0),C1(0,1,2),D(√2/2,√2/2,0);A1B={1,0,-2},AB={1,0,0}; AC1={0,1,2}; AD={√2/2,√2/2,0}; 设平面ADC1的法向量为n1，平面ABA1的法向量为n2；则
n1=AC1xAD={0,1,2}x{√2/2,√2/2,0}={-√2,√2,-√2/2}; n2=ABxA1B={1,0,0}x{1,0,-2}={0,2,0}; 平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值：cosa=n1·n2/(|n1||n2|)={-√2,√2,-√2/2}·{0,2,0}/[2√(2+2+2/4)=2√2/√18=2/3; 正弦值为：sina=√(1-cos^2a)=√[1-(2/3)^2]=√5/3。
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（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于点E，
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DE?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
C1（0，1，2）D（
，
，0），
=（
，
，0），
=（0，1，2）．…（6分）
设平面ADC1的法向量
=（x，y，z），
则
，不妨取
=（2，-2，1）．…（9分）
平面ABA1的一个法向量
则点E是A1C及AC1的中点．
连接DE，则DE∥A1B．
因为DE?平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），
C1（0，1，2）D（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AD |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AC1 |
设平面ADC1的法向量
| m |
则
|
| m |
平面ABA1的一个法向量
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