Question

在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=CQ=2，则正方形ABCD的面积

在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=CQ=2，则正方形ABCD的面积为______．

Answer 1

解：作PE⊥AD与E，过点P作PF⊥AB于F，延长FP交CD于G，
∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA，
∴PE=PF，
∴四边形AEPF是正方形，
∴AE=PE=PF=AF，
∵AP=2，由勾股定理得：AE²+PE²=2²，
∴AE=PE=PF=AF=

2

，
∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°；
∵∠FBP+∠FPB=90°，∠FPB+∠QPG=90°，
∴∠FBP=∠GPQ，
在△PQG和△BPF中

∠FBP＝∠GPQ ∠BFP＝∠PGQ＝90° BF＝PG

，
∴△PQG≌△BPF，
则QG=PF=

2

，
∴CD=CQ+QG+GD=2+

2

+

2

=2+2

2

，
则大正方形的边长是2+2

2

<