Question

已知：数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2a n -2n（n∈N*）（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）

已知：数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2a n -2n（n∈N*）（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列{b n }满足b n =log 2 （a n +2），而T n 为数列 { b n a n +2 } 的前n项和，求T n ．

Answer 1

（1）当n∈N*时，S n =2a n -2n，①则当n≥2，n∈N*时，S n-1 =2a n-1 -2（n-1）．② ①-②，得a n =2a n -2a n-1 -2，即a n =2a n-1 +2，∴a n +2=2（a n-1 +2）∴ a n +2 a n-1 +2 =2． 当n=1 时，S 1 =2a 1 -2，则a 1 =2，当n=2时，a 2 =6，∴{a n +2}是以a 1 +2为首项，以2为公比的等比数列． ∴a n +2=4?2 n-1 ，∴a n =2 n+1 -2，（7分） （2）由b n =log 2 （a n +2）=log 2 2 n+1 =n+1，得 b n a n +2 = n+1 2 n+1 ， 则T n = 2 2 2 + 3 2 3 +…+ n+1 2 n+1 ，③ 1 2 T n = 2 2 3 +…+ n 2 n+1 + n+1 2 n+2 ，④ ③-④，得 1 2 T n = 2 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 +…+ 1 2 n+1 + n+1 2 n+2 = 1 4 + 1 4 (1- 1 2 n ) 1- 1 2 - n+1 2 n+2 = 1 4 + 1 2 - 1 2 n+1 - n+1 2 n+2 = 3 4 - n+3 2 n+2 ∴T n = 3 2 - n+3 2 n+1 （14分）