Question

(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n∈N * )，数列{b n }满足b 1 ＝1，

(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n∈N * )，数列{b n }满足b 1 ＝1，且点P(b n ，b n ＋1 )(n∈N * )在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式．(2)求数列{a n ·b n }的前n项和D n ．(3)设c n ＝a n ·sin 2 －b n ·cos 2 (n∈N * )，求数列{c n }的前2n项和T 2n ．

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Answer 1

（1）a n ＝2a n －1 (n≥2)     b n ＝2n－1 （2）D n ＝(2n－3)2 n ＋1 ＋6 （3） －2n 2 －n

(1)当n＝1时，a 1 ＝2， 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝2a n －2a n －1 ， 所以a n ＝2a n －1 (n≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1 ＝2，所以a n ＝2 n ， 又点P(b n ，b n ＋1 )(n∈N * )在直线y＝x＋2上，所以b n ＋1 ＝b n ＋2， 所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1 ＝1，所以b n ＝2n－1． (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n－1)×2 n ， 所以D n ＝1×2 1 ＋3×2 2 ＋5×2 3 ＋7×2 4 ＋…＋(2n－3)×2 n －1 ＋(2n－1)×2 n ，① 2D n ＝1×2 2 ＋3×2 3 ＋5×2 4 ＋7×2 5 ＋…＋(2n－3)×2 n ＋(2n－1)×2 n ＋1 ．② ①－②得－D n ＝1×2 1 ＋2×2 2 ＋2×2 3 ＋2×2 4 ＋…＋2×2 n －(2n－1)×2 n ＋1 ＝2＋2× －(2n－1)×2 n ＋1 ＝(3－2n)2 n ＋1 －6， 则D n ＝(2n－3)2 n ＋1 ＋6． (3)c n ＝ ， T 2n ＝(a 1 ＋a 3 ＋…＋a 2n －1 )－(b 2 ＋b 4 ＋…＋b 2n ) ＝2＋2 3 ＋…＋2 2n －1 －[3＋7＋…＋(4n－1)]＝ －2n 2 －n．