Question

已知椭圆C：x2m2+y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x

已知椭圆C：x2m2+y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且e＝

2

2

，所以e2＝

1

2

＝

a2?b2

a2

＝1?

b2

a2

＝1?

1

m2

，所以m²=2，即椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于

π

2

＜∠AOB＜π（A，O，B三点不共线），也就等价于

OA

?

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0…①…（7分）
联立

y＝x+t x2+2y2＝2

，得3x²+4tx+2（t²-1）=0，所以△=16t²-24（t²-1）＞0，即0＜t²＜3…②
且x1+x2＝

?4t

3

，x1