Question

高中数学 .空间向量

Answer 1

在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=√2，D为AA1中点，BD与AB1交于O，OC⊥面ABB1A1。
（1）求证：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值。
解析：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=√2，D为AA1中点，BD与AB1交于O，OC⊥面ABB1A1。
∴tan∠ABD=√2/2，tan∠BAB1=√2
∴∠ABD,∠BAB1互余==>BD⊥AB1
建立以O为原点，以OD方向为X轴，以OB1方向为Y轴，以OC方向为Z轴正方向的空间直角坐标系O-xyz
则点坐标：O(0,0,0)，A(0,-√3/3,0)，B(-√6/3,0,0)，C(0,0,√3/3)，A1(√6/3,√3/3,0)，
B1(0,2√3/3,0)，C1(√6/3,2√3/3,√3/3)，D(√6/6,0,0)
(1)向量BC=(√6/3,0,√3/3)，向量AB1=(0,√3,0)
向量BC·AB1=0
∴BC⊥AB1；
(2)向量DC1=(√6/6,2√3/3,√3/3)==>|向量DC1|=√66/6
向量AC=(0,√3/3,√3/3)，向量AB=(-√6/3,√3/3,0)，
设向量m=(x,y,z)是面ABC的一个法向量
√3/3y+√3/3z=0
-√6/3x+√3/3y=0
令x=-1，则y=-√2，z=√2
∴向量m=(-1,-√2,√2)==>|向量m|=√5
向量DC1·m=-√6/6-2√6/3+√6/3=-√6/2
Cos<向量DC1,m >=向量DC1·m/[|向量DC1|·|m|]=-3√55/55
∴直线C1D与平面ABC所成角的正弦值3√55/55