Question

如图，在矩形 ABCD 中， AB =3， BC =4．动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出

如图，在矩形 ABCD 中， AB =3， BC =4．动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB 返回．点 P 、 Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止．连接 PQ ，设运动时间为 t （ t >0）秒． （1）求线段 AC 的长度；（2）当点 Q 从点 B 向点 A 运动时（未到达 A 点），求△ APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）伴随着 P 、 Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l ：①当 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 于点 E ，求 AE 的长；②当 l 经过点 B 时，求 t 的值．

Answer 1

（1）5 （2） ，     （3）3、 t ＝2.5，

试题分析：（1）在矩形 ABCD 中，           （2）过点 P 作 PH ⊥ AB 于点 H ， AP=t ， AQ = 3－ t ， 由△ AHP ∽△ ABC ，得 ，∴ PH= ， ，   .  (3) ①如图②，线段 PQ 的垂直平分线为 l 经过点 A ，则 AP=AQ ， 即3 －t=t ，∴ t= 1.5，∴ AP=AQ= 1.5， 延长 QP 交 AD 于点 E ，过点 Q 作 QO ∥ AD 交 AC 于点 O ， 则 ， ，∴ PO=AO －AP= 1． 由△ APE ∽△ OPQ ，得 ．  ②（ⅰ）如图③，当点 Q 从 B 向 A 运动时 l 经过点 B ， BQ ＝ CP ＝ AP ＝ t ，∠ QBP ＝∠ QAP   ∵∠ QBP ＋∠ PBC ＝90°，∠ QAP ＋∠ PCB ＝90° ∴∠ PBC ＝∠ PCB   CP ＝ BP ＝ AP ＝ t        ∴ CP ＝ AP ＝ AC ＝ ×5＝2.5　∴ t ＝2.5．     （ⅱ）如图④，当点 Q 从 A 向 B 运动时 l 经过点 B ， BP ＝ BQ ＝3－（ t－ 3）＝6－ t ， AP ＝ t ， PC ＝ 5－t ， 过点 P 作 PG ⊥ CB 于点 G 由△ PGC ∽△ ABC ， 得 , BG ＝4－ = 由勾股定理得 ，即 ，解得 ． 点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似