Question

高数题,向量AB在x轴,y轴,z轴上的投影依次为4,-4,7,它的终点坐标为B(2,-1,7),则起点坐标为XXX的思索。

这个问题的网上给出的 解法如下
解 设点A的坐标为(x y z) 由已知得
2-x=4
-1-y=-4
7-z=7
解得x=-2 y=3 z=0 点A的坐标为A(-2 3 0)

我的问题是，，，我觉得 一个具有方向的线段，在空间坐标系中，它要先垂直地面，然后在用cos sin函数，导入到X 或者Y轴（Z轴一样的做法），是一个十分麻烦的过程，然而为啥，能这样简单的接出来？？？

Answer 1

设向量AB起点A的坐标为(x₁，y₁，z₁)；终点B的坐标为(x₂，y₂，z₂)；其方向角分别为α、β、γ；那么AB在坐标轴上的投影有两种计算方法：
Prjx=∣AB∣cosα=x₂-x₁；
Prjy=∣AB∣cosβ=y₂-y₁；
Prjz=∣AB∣cosγ=z₂-z₁；
其中Prj表投影，后面的x、y、z应该写矮一点(但我打不出来),表在x、y、z轴上的投影。
用那种方法计算要看条件。如果给出的是向量的模和方向角，当然用前一种；如果给的是起点
和终点的坐标当然要用后一种。
现在已知AB=4i-4j+7k及终点B的坐标(2，-1，7）；要求起点A的坐标，当然就有：
【4i是AB在x轴上的分矢量，4是在x轴上的投影；-4j是AB在y轴上的分矢量，负号表明该分矢
量的方向指向y轴的负向，4是在y轴上的投影；7k是AB在z轴上的分矢量，7是在z轴上的投影】
2-x₁=4，故x₁=-2;
-1-y₁=-4，故y₁=3;
7-z₁=7，故z₁=0.
即A点的坐标为(-2，3，0).
【你的概念有点模糊，没有什么“它要先垂直地面”之说。】

【你可画个立体图，证明上述结论的正确性。】