Question

这个行列式如何计算

x是未知数，变量，p,q,r是常数





Answer 1

将所有列加到第1列，第1列变成
x-r+1-p-q
x-r-2(p-1)-q
x-r-2(p-1)-q
...
x-r-2(p-1)-q

然后，所有行（第1行除外），都减去第1行，得到
x-r+1-p-q -1 -1 ... -1 -1 -1 ... -1
-(p-1) x+1 -1 ... -1 0 0 ... 0
-(p-1) -1 x+1 ... -1 0 0 ... 0
...
-(p-1) -1 -1 ... x+1 0 0 ... 0
-(p-1) 0 0 ... 0 x+1 -1 ... -1
-(p-1) 0 0 ... 0 -1 x+1 ... -1
...
-(p-1) 0 0 ... 0 -1 -1 ... x+1

然后，第2～p+1列，都减去最后1列 (即p+q+1列)，得到

x-r+1-p-q 0 0 ... 0 0 0 ... -1
-(p-1) x+1 -1 ... -1 0 0 ... 0
-(p-1) -1 x+1 ... -1 0 0 ... 0
...
-(p-1) -1 -1 ... x+1 0 0 ... 0
-(p-1) 1 1 ... 1 x+2 0 ... -1
-(p-1) 1 1 ... 1 0 x+2 ... -1
...
-(p-1) -(x+1) -(x+1) ... -(x+1) -(x+2) -(x+2) ... x+1

按第1行展开，得到
(x-r+1-p-q)D1D2+(-1)^(p+q+1)D3【1】

其中D1是p阶行列式（左上角）
D2是q阶行列式（右上角）
D3是p+q阶行列式

D1的求法，是将所有列加到第1列，提取第1列公因子x+2-p，然后各加上第1列，化成下三角，得到
D1=（x+2-p）(x+2)^(p-1)

D2是爪形行列式，所有行加到最后1行，化成上三角，得到
D2=(x+2)^(q-1)（x+2-q）

D3提取第1列公因子-(p-1)，然后所有行都减去第1行，得到-(p-1)×
1 x+1 -1 ... -1 0 0 ... 0
0 -(x+2) x+2 ... 0 0 0 ... 0
...
0 -(x+2) 0 ... x+2 0 0 ... 0
0 -x 2 ... 2 x+2 0 ... 0
0 -x 2 ... 2 0 x+2 ... 0
...
0 -2(x+1) -x ... -x -(x+2) -(x+2) ... -(x+2)

按第1列展开，得到该行列式，等于D5D6
其中D5是p阶行列式（左上角），
D6是q阶行列式（右下角，是下三角行列式）

D5按最后1行展开(最后1行只有第1列不是0)，得到
D5=-(x+2)(-1)^(p+1) (x+2)^(p-1) = (x+2)^p (-1)^p
D6=（x+2）^（q-1）(-(x+2)) = -（x+2）^q

因此，再由【1】式，最终结果等于

(x-r+1-p-q)（x+2-p）(x+2)^(p-1) (x+2)^(q-1)（x+2-q）
+(-1)^(p+q+1)(-(p-1))× (x+2)^p (-1)^p(-（x+2）^q)

=(x-r+1-p-q)（x+2-p）（x+2-q）(x+2)^（p+q-2）
+(p-1)(x+2)^(p+q)(-1)^(q+1)

算到这一步即可。
=(x+2)^（p+q-2）((x-r+1-p-q)（x+2-p）（x+2-q） +(-1)^(q+1) × (p-1)(x+2)^2 )
后面不方便继续化简了。

Answer 2

Answer 3

Answer 4