Question

问一道数学二次函数的问题

如图,二次函数Y=AX2+BX+C （A不等于0）的图像与X轴交与AB两点，与Y交于C。连接AC\BC,AC两点坐标分别为A(-3,0)C（0，根号3）且当X=-4和X=2时二次函数的函数值Y相等
1、求实数ABC值
2、若点MN同时从B出发，均以每秒1个单位的速度分别沿BA\BC运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为T时，连接MN，讲BMN沿MN翻着B恰好落在AC边P出，求T和P坐标、
3、在2的条件下，二次函数是否存在P是BNQ为顶点的三角形和三角形ABC相似，说明理由
如图

Answer 1

(1) X = 0 代入函数表达式，应为C的纵坐标，
所以 C = √3
当 X = -4 和 X = 2 时二次函数的函数值Y相等,故知对称轴在
X = (-4 +2)/2 = -1
因此，Y能表达成 a(x+1)^2 + b 形式,整理得
Y = aX^2 + 2aX + a + b (1)
对比 Y = AX^2 + BX + C 得 a + b = C = √3 ，即 b = a - √3
带入(1)式，并将A点坐标带入，得：
a(-3)^2 + 2a(-3) + √3 = 0 ，即 3a + √3 = 0
所以 A = a = -√3/3
B = 2a = -2√3/3
C = √3
（2）根据对称性，知B点坐标为 （1，0）。
所以BC长为：
√((1-0)^2 + (0-√3)^2) = 2，并知
角NBM为60°
依题意知平行四边形PMBN为菱形，
所以，对角线应相互垂直，且BP为角NBM的平分线。即
角PBM = 30°
可写出BP所在直线方程为：
y = -(√3/3)(x-1)
AC所在直线方程为:
y = (√3/3)(x-1) + 2√3/3
斜率一正一负，可见P在原二次函数对称轴上。
并可计算出P点坐标为（-1，2√3/3）
显然，角PMB = 120°，可知
T = PM = （2√3/3）/(√3/2) = 4/3
(注：同时可知M点坐标为(-1/3,0))
(3)第三问显然是想说延长BP交二次函数于Q，证明△AQB全等△ACB，或者是说
延长NP交二次函数于Q，证明△AQB全等△ANB,这是显然的。原因是P在二次函数的对称轴上。

Answer 2

1、令y = f(x) = A * x^2 + B * x^2 + C

有 f(-3) = 0, f(0) = 3^0.5, f(-4) = f(2).即:
9A - 3B + C = 0
C = 3^0.5
16A - 4B + C = 4A + 2B + C
解得
A = -3^0.5 / 3
B = -2/3 * 3^0.5
C = 3^0.5

所以 y = f(x) = 3^0.5 * ( -1/3*x^2 - 2/3*x + 1 ) = -3^0.5 / 3 * ( x + 3 )( x - 1 )
B点为 ( 1, 0 )
tan∠MBN = 0C / 0B = 3^0.5, ∠MBN = π/3
BM = BN, 则∠BMN = π/3, ∠PMB = 2π/3
由于B,P关于MN对称, 则有BM = MP.
M点为 ( 1 - T, 0 ), MP = BM = T.
则P点坐标为 ( 1 - T - T/3, T/3 * 3^0.5 ), 即 ( 1 - 4T / 3, T/3 * 3^0.5 )
∠PAB = π/2 - π/3 = π/6
则有
( 1 - 4T / 3 - (-3) ) / T/3 * 3^0.5 = cot∠PAB = 3^0.5
解得 T = 12/5

第三问由于无Q, 所以无解

2、解：（1）：∵C（0，√3）∴√3＝C
∵当X=-4和X=2时二次函数的函数值Y相等
∴16A-4B+√3＝4A+2B+√3 即 2A＝B
∴该二次函数对称轴为X＝－b／2a＝-1
∵A（-3，0）且对称轴为X＝－b／2a＝-1
∴B（1,0)
∴可列方程0＝9a-3b+√3
0＝a+b+√3
解得A＝-√3/3
B＝-2√3/3
C＝√3
O(∩_∩)O~希望楼主喜欢！

Answer 3

令y = f(x) = A * x^2 + B * x^2 + C

有 f(-3) = 0, f(0) = 3^0.5, f(-4) = f(2).即:
9A - 3B + C = 0
C = 3^0.5
16A - 4B + C = 4A + 2B + C
解得
A = -3^0.5 / 3
B = -2/3 * 3^0.5
C = 3^0.5

所以 y = f(x) = 3^0.5 * ( -1/3*x^2 - 2/3*x + 1 ) = -3^0.5 / 3 * ( x + 3 )( x - 1 )
B点为 ( 1, 0 )
tan∠MBN = 0C / 0B = 3^0.5, ∠MBN = π/3
BM = BN, 则∠BMN = π/3, ∠PMB = 2π/3
由于B,P关于MN对称, 则有BM = MP.
M点为 ( 1 - T, 0 ), MP = BM = T.
则P点坐标为 ( 1 - T - T/3, T/3 * 3^0.5 ), 即 ( 1 - 4T / 3, T/3 * 3^0.5 )
∠PAB = π/2 - π/3 = π/6
则有
( 1 - 4T / 3 - (-3) ) / T/3 * 3^0.5 = cot∠PAB = 3^0.5
解得 T = 12/5

第三问由于无Q, 所以无解

Answer 4

解：（1）：∵C（0，√3）∴√3＝C
∵当X=-4和X=2时二次函数的函数值Y相等
∴16A-4B+√3＝4A+2B+√3 即 2A＝B
∴该二次函数对称轴为X＝－b／2a＝-1
∵A（-3，0）且对称轴为X＝－b／2a＝-1
∴B（1,0)
∴可列方程0＝9a-3b+√3
0＝a+b+√3
解得A＝-√3/3
B＝-2√3/3
C＝√3
先给你第一问，有时间再接着答

Answer 5

解：（1）：∵C（0，√3）∴√3＝C
∵当X=-4和X=2时二次函数的函数值Y相等
∴16A-4B+√3＝4A+2B+√3 即 2A＝B
∴该二次函数对称轴为X＝－b／2a＝-1
∵A（-3，0）且对称轴为X＝－b／2a＝-1
∴B（1,0)
∴可列方程0＝9a-3b+√3
0＝a+b+√3
解得A＝-√3/3
B＝-2√3/3
C＝√3