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精心为大家整理了概率论一维随机变量及其分布的内容
配合相应的例题让大家更好理解
如果有考研或是数学方面问题的话可以随时留言或者私信
进入正题，今天重点介绍3个函数及6个分布
一、3个函数
1、分布函数
设 [公式] 为一个随机变量，则成 [公式] 为随机变量 [公式] 的分布函数，其需要满足以下四个特征：
（1） [公式]
（2） [公式] 单调不减
（3）[公式] 右连续
（4）[公式]
一个分布函数必定满足以上四个特征，如若任意一个不满足时，该函数不能称之为分布函数
例题：设 [公式] 为 [公式] 的分布函数，下列也成称之为分布函数的是（）
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
解答：
选项A：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项B：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项C：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项D：[公式]，且其他几个特征也同时符合，因此D正确
分布函数除上述特征外，还具备以下几个性质:
（1） [公式]
（2）[公式]
（3） [公式]
（4）[公式]
2、分布律
离散型随机变量的分布律，表达式为：[公式]
分布律具有以下几点特征
（1） [公式]
（2） [公式]
以下为一个随机变量的分布律情况：
X 0 1 2 3
P 0.5 0.2 0.15 0.15
3、概率密度函数
连续型随机变量每个取值的概率无法用具体的数值来表示，比如设 [公式] 为从0到1的数字中随机取到的数
因为0-1中有无数个数字，所以无论 [公式] 取到什么值，概率都是0，因为不能用分布律来表示连续随机变量的数字特征，因此引入了概率密度函数的概念
设 [公式] 的分布函数为 [公式] ，若存在非负可积函数 [公式] ，使得 [公式] ，则称[公式]为[公式]的概率密度函数，概率密度函数需满足以下两个特征：
（1） [公式]
（2） [公式]
例题：设 [公式] 为 [公式] 的概率密度函数，判断下列函数是否为概率密度函数
[公式]
[公式]
解答：
选项A： [公式] ，因此A错误
选项B： [公式] 的取值无法判断是否等于1，因此B错误
综上，在考察一个函数是否是分布函数或概率密度函数时，均要满足两个函数各自对应的特征
二、6个重要分布
前三个为离散型随机变量的分布，后三个为连续型随机变量分布，6个都很重要，必须背诵下来（包括符号都是要背的，比如B代表什么，U代表什么）
1、二项分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
2、泊松分布（符号表示 [公式] ~ [公式] 或 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
3、超几何分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
4、均匀分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
概率密度函数表达式为：
5、指数分布（符号表示[公式] ~[公式]）
概率密度函数表达式为：
6、正态分布（符号表示[公式] ~[公式]）
概率密度函数表达式为：
特别地，若μ = 0,σ =1，称随机变量服从标准正态分布，概率密度函数表达式为：
分布函数为：
注：正态分布具有以下性质
（1）[公式]
（2）正态分布密度函数关于 [公式] 对称，即 [公式] ，特别的，标准正态分布密度函数关于 [公式] 对称
（3）若 [公式] ~[公式]，则[公式] ~[公式]，该点非常非常重要
（4）若 [公式] ~[公式]，则 [公式]
例题：某工厂生产螺栓的长度服从参数 [公式] =10.05， [公式] =0.12的正态分布，如果规定长度在10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为合格品的概率为多少？
解答：
设螺栓的长度为 [公式] ，则[公式] ~[公式]，则[公式] ~[公式]，
[公式]
[公式]
其中[公式] 的取值可以在课本背后查找得出
此题属于典型题目，即需要对正态分布进行变换，变成标准正态分布后再带入进行计算，如若直接用原分布带入进行积分，则会产生较大计算量，难以得出结果
三、随机变量的变换
讲到这里，基本上一维随机变量的内容讲完了，这里补充一种关于一维变量的典型题目，即:
已知变量 [公式] 的分布情况，求解 [公式] 分布函数及概率密度函数的题型，该题型分为离散型和连续型两种情况进行讲解：
1、离散型随机变量
例题：设 [公式] 服从下述分布律，求解 [公式] 的分布律
X 0 1 2 3
P 0.5 0.2 0.15 0.15
解答：
在离散型随机变量中，求解[公式]的分布律是比较简单的，直接将 [公式] 的取值代入 [公式] 中即可算出，即 [公式]
所以[公式] 的分布律为:
2X+1 1 3 5 7
P 0.2 0.2 0.15 0.15
[公式] 的分布律为:
X^2 0 1 4 9
P 0.2 0.2 0.15 0.15
2、连续型随机变量
连续型随机变量的题目相对麻烦一点，有的看过书的同学应该知道书上给出了几个公式用于计算连续型随机变量变换的题目，但是个人不建议去死记硬背那些公式，数学已然有很多公式要背了，能少一个是一个，接下来重点来了：
关于求解连续型随机变量 [公式] 中， [公式] 的分布函数及概率密度函数步骤
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
（2）对分布函数两边进行求导，即可求出概率密度函数，注意右边的函数是个复合函数，需利用复合函数求导法则进行求解
例题：已知变量 [公式] 服从区间[0,1]上的均匀分布，求随机变量 [公式] 概率密度函数
[公式] （其他 ）
解答：
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
（2）两边求导
[公式]
[公式]
例题：已知变量 [公式] 服从区间[0,6]上的均匀分布，求随机变量 [公式] 概率密度函数
[公式] （其他 ）
解答：
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
注：部分同学这里解答出来的结果是 [公式]
会解出上述结果的同学忽略了一个条件，即 [公式] 在[0,6]区间上才有取值，因此 [公式] 的取值范围应该是[公式]
如果还是没看出来的话，我们从图像入手，找出 [公式] 的取值范围：
从图像可以看出 [公式] 的取值范围为 [公式]
（2）两边求导
[公式]
[公式] （其他）
利用定义解答此类题目是较为简单的一种，不需要记忆过多的公式，很方便，希望大家记住
概率论第二章的分享就到这里啦，后续仍会持续进行更新后面章节
码字不易，请大家点个赞吧~
另外如果有考研或是数学方面问题的话可以随时留言或者私信，有问必答哈~
另目前计划开设数学方面的集训营，敬请关注~
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进入正题，今天重点介绍3个函数及6个分布
一、3个函数
1、分布函数
设 [公式] 为一个随机变量，则成 [公式] 为随机变量 [公式] 的分布函数，其需要满足以下四个特征：
（1） [公式]
（2） [公式] 单调不减
（3）[公式] 右连续
（4）[公式]
一个分布函数必定满足以上四个特征，如若任意一个不满足时，该函数不能称之为分布函数
例题：设 [公式] 为 [公式] 的分布函数，下列也成称之为分布函数的是（）
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
解答：
选项A：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项B：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项C：[公式]，不符合分布函数小于等于1的特征
选项D：[公式]，且其他几个特征也同时符合，因此D正确
分布函数除上述特征外，还具备以下几个性质:
（1） [公式]
（2）[公式]
（3） [公式]
（4）[公式]
2、分布律
离散型随机变量的分布律，表达式为：[公式]
分布律具有以下几点特征
（1） [公式]
（2） [公式]
以下为一个随机变量的分布律情况：
X 0 1 2 3
P 0.5 0.2 0.15 0.15
3、概率密度函数
连续型随机变量每个取值的概率无法用具体的数值来表示，比如设 [公式] 为从0到1的数字中随机取到的数
因为0-1中有无数个数字，所以无论 [公式] 取到什么值，概率都是0，因为不能用分布律来表示连续随机变量的数字特征，因此引入了概率密度函数的概念
设 [公式] 的分布函数为 [公式] ，若存在非负可积函数 [公式] ，使得 [公式] ，则称[公式]为[公式]的概率密度函数，概率密度函数需满足以下两个特征：
（1） [公式]
（2） [公式]
例题：设 [公式] 为 [公式] 的概率密度函数，判断下列函数是否为概率密度函数
[公式]
[公式]
解答：
选项A： [公式] ，因此A错误
选项B： [公式] 的取值无法判断是否等于1，因此B错误
综上，在考察一个函数是否是分布函数或概率密度函数时，均要满足两个函数各自对应的特征
二、6个重要分布
前三个为离散型随机变量的分布，后三个为连续型随机变量分布，6个都很重要，必须背诵下来（包括符号都是要背的，比如B代表什么，U代表什么）
1、二项分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
2、泊松分布（符号表示 [公式] ~ [公式] 或 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
3、超几何分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
分布律表达式为： [公式]
4、均匀分布（符号表示 [公式] ~ [公式] ）
概率密度函数表达式为：
5、指数分布（符号表示[公式] ~[公式]）
概率密度函数表达式为：
6、正态分布（符号表示[公式] ~[公式]）
概率密度函数表达式为：
特别地，若μ = 0,σ =1，称随机变量服从标准正态分布，概率密度函数表达式为：
分布函数为：
注：正态分布具有以下性质
（1）[公式]
（2）正态分布密度函数关于 [公式] 对称，即 [公式] ，特别的，标准正态分布密度函数关于 [公式] 对称
（3）若 [公式] ~[公式]，则[公式] ~[公式]，该点非常非常重要
（4）若 [公式] ~[公式]，则 [公式]
例题：某工厂生产螺栓的长度服从参数 [公式] =10.05， [公式] =0.12的正态分布，如果规定长度在10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为合格品的概率为多少？
解答：
设螺栓的长度为 [公式] ，则[公式] ~[公式]，则[公式] ~[公式]，
[公式]
[公式]
其中[公式] 的取值可以在课本背后查找得出
此题属于典型题目，即需要对正态分布进行变换，变成标准正态分布后再带入进行计算，如若直接用原分布带入进行积分，则会产生较大计算量，难以得出结果
三、随机变量的变换
讲到这里，基本上一维随机变量的内容讲完了，这里补充一种关于一维变量的典型题目，即:
已知变量 [公式] 的分布情况，求解 [公式] 分布函数及概率密度函数的题型，该题型分为离散型和连续型两种情况进行讲解：
1、离散型随机变量
例题：设 [公式] 服从下述分布律，求解 [公式] 的分布律
X 0 1 2 3
P 0.5 0.2 0.15 0.15
解答：
在离散型随机变量中，求解[公式]的分布律是比较简单的，直接将 [公式] 的取值代入 [公式] 中即可算出，即 [公式]
所以[公式] 的分布律为:
2X+1 1 3 5 7
P 0.2 0.2 0.15 0.15
[公式] 的分布律为:
X^2 0 1 4 9
P 0.2 0.2 0.15 0.15
2、连续型随机变量
连续型随机变量的题目相对麻烦一点，有的看过书的同学应该知道书上给出了几个公式用于计算连续型随机变量变换的题目，但是个人不建议去死记硬背那些公式，数学已然有很多公式要背了，能少一个是一个，接下来重点来了：
关于求解连续型随机变量 [公式] 中， [公式] 的分布函数及概率密度函数步骤
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
（2）对分布函数两边进行求导，即可求出概率密度函数，注意右边的函数是个复合函数，需利用复合函数求导法则进行求解
例题：已知变量 [公式] 服从区间[0,1]上的均匀分布，求随机变量 [公式] 概率密度函数
[公式] （其他 ）
解答：
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
（2）两边求导
[公式]
[公式]
例题：已知变量 [公式] 服从区间[0,6]上的均匀分布，求随机变量 [公式] 概率密度函数
[公式] （其他 ）
解答：
（1）利用分布函数定义求解 [公式] 的分布函数
[公式]
注：部分同学这里解答出来的结果是 [公式]
会解出上述结果的同学忽略了一个条件，即 [公式] 在[0,6]区间上才有取值，因此 [公式] 的取值范围应该是[公式]
如果还是没看出来的话，我们从图像入手，找出 [公式] 的取值范围：
从图像可以看出 [公式] 的取值范围为 [公式]
（2）两边求导
[公式]
[公式] （其他）
利用定义解答此类题目是较为简单的一种，不需要记忆过多的公式，很方便，希望大家记住
概率论第二章的分享就到这里啦，后续仍会持续进行更新后面章节
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概率论联合分布律题目，急啊~~求解答！
rizieyf18 LV13
2013-04-01
满意答案
zmzmzmzm1234
LV12
2013-04-02
分析：
1、联合分布律P(X,Y),
P(1,1)=2/5*1/4=1/10
P(1,0)=2/5*3/5=6/25
P(0,1)=3/5*1/4=3/20
P(0,0)=3/5*2/4=3/10
2、边缘分布律
X边缘分布律
第一次摸出白球，第二次摸出白球或者黑球，
P(X=1)=2/5*1/4+2/5*3/4=2/5
第一次摸出黑球，第二次摸出白球或者黑球，
P(X=0)=3/5*2/4+3/5*2/4=3/5
Y边缘分布律
第二次摸出白球，第一次摸出白球或者黑球，
P(Y=1)=2/5*1/4+3/5*2/4=2/5
第二次摸出黑球，第一次摸出白球或者黑球，
P(Y=0)=2/5*3/4+3/5*2/4=3/5
3、检验X,Y是否独立？
P(X=1,Y=1)=1/10
P(X=1)P(Y=1)=2/5*2/5=4/25
P(X=1,Y=1)不等于P(X=1)P(Y=1)
故，X，Y不独立。
4、D(2X+1)=4D(X)=4[E(X^2)-E(X)^2]
rizieyf18 LV13
2013-04-01
满意答案
zmzmzmzm1234
LV12
2013-04-02
分析：
1、联合分布律P(X,Y),
P(1,1)=2/5*1/4=1/10
P(1,0)=2/5*3/5=6/25
P(0,1)=3/5*1/4=3/20
P(0,0)=3/5*2/4=3/10
2、边缘分布律
X边缘分布律
第一次摸出白球，第二次摸出白球或者黑球，
P(X=1)=2/5*1/4+2/5*3/4=2/5
第一次摸出黑球，第二次摸出白球或者黑球，
P(X=0)=3/5*2/4+3/5*2/4=3/5
Y边缘分布律
第二次摸出白球，第一次摸出白球或者黑球，
P(Y=1)=2/5*1/4+3/5*2/4=2/5
第二次摸出黑球，第一次摸出白球或者黑球，
P(Y=0)=2/5*3/4+3/5*2/4=3/5
3、检验X,Y是否独立？
P(X=1,Y=1)=1/10
P(X=1)P(Y=1)=2/5*2/5=4/25
P(X=1,Y=1)不等于P(X=1)P(Y=1)
故，X，Y不独立。
4、D(2X+1)=4D(X)=4[E(X^2)-E(X)^2]
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我们都知道，概率论与数理统计在我们的生活中有着很重要的作用。那么它可以具体应用在哪些方面呢？让我们从一个简单的几何分布的问题开始吧！
问题：一篮球运动员投篮概率为40%命中，求他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数和X取奇数的概率
投篮
因为题目要求首次投中时累计投篮的次数，所以可以知道在投中之前，都没有投中。所以这个问题是符合几何分布的。
写出其分布律P{X=K}=0.4*(0.6)^k-1 k=1,2,3……
下面我们来求当X为偶数时首次命中的概率，一般来说求当X取偶数或者X取奇数的时候都可以应用公式法，那么当公式被我们忘记了该怎么办呢？
这里给大家介绍一种简单的方法
首先我们写出当X为偶数的时候的首次投篮命中的情况
P{X为偶数}=0.4{(0.6)^(2-1)+(0.6)^(4-1)+……+(0.6)^(2k-1)} k=2，4，6…… 2k
再写出当X为奇数时首次投篮命中的情况
P{X为奇数}=0.4{(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)} k=1，3，5……2k-1
我们又知道
P{X为偶数}+P{X为奇数}=1
故此时有
0.4{(0.6)^(2-1)+(0.6)^(4-1)+……+(0.6)^(2k-1)}+0.4{(0.6)^(1-1) + (0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)}=1
这个时候我们从偶数式中提出一个0.6
则此时偶数式变为
0.4*0.6{(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)} k=1，3，5……2k-1
接着我们可以设后面的一部分的值为a
即a={(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)}
则有0.4a+0.24a=1
即a=1/0.64
即可推出偶数时的概率为0.24*1/0.64=0.375
而奇数时的概率即为1-0.375=0.625
怎么样？是不是很实用呢。
问题：一篮球运动员投篮概率为40%命中，求他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数和X取奇数的概率
投篮
因为题目要求首次投中时累计投篮的次数，所以可以知道在投中之前，都没有投中。所以这个问题是符合几何分布的。
写出其分布律P{X=K}=0.4*(0.6)^k-1 k=1,2,3……
下面我们来求当X为偶数时首次命中的概率，一般来说求当X取偶数或者X取奇数的时候都可以应用公式法，那么当公式被我们忘记了该怎么办呢？
这里给大家介绍一种简单的方法
首先我们写出当X为偶数的时候的首次投篮命中的情况
P{X为偶数}=0.4{(0.6)^(2-1)+(0.6)^(4-1)+……+(0.6)^(2k-1)} k=2，4，6…… 2k
再写出当X为奇数时首次投篮命中的情况
P{X为奇数}=0.4{(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)} k=1，3，5……2k-1
我们又知道
P{X为偶数}+P{X为奇数}=1
故此时有
0.4{(0.6)^(2-1)+(0.6)^(4-1)+……+(0.6)^(2k-1)}+0.4{(0.6)^(1-1) + (0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)}=1
这个时候我们从偶数式中提出一个0.6
则此时偶数式变为
0.4*0.6{(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)} k=1，3，5……2k-1
接着我们可以设后面的一部分的值为a
即a={(0.6)^(1-1)+(0.6)^(3-1)+……+(0.6)^(2k-2)}
则有0.4a+0.24a=1
即a=1/0.64
即可推出偶数时的概率为0.24*1/0.64=0.375
而奇数时的概率即为1-0.375=0.625
怎么样？是不是很实用呢。
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如图。
追问
请问你画这个图和答案有什么关系，怎么得出答案的
追答
你看我这个图就是分布函数的图像，然后分布图像的导数就是概率分布，离散型的叫概率分布，连续的叫概率密度。
这里-1的概率就是0.2-0,2的概率就是0.7-0.2，以此类推。
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