Question

求解 中值定理题目

Answer 1

分析，本题考察零点定理
证明：
根据题意，构造函数：
φ(x)=f(x)-x
∵-1/2<f'(x)<1/2
对上式求(0,x)区间的定积分，则：
(-1/2)x<f(x)-f(0)<(1/2)x
(-1/2)x+f(0)<f(x)<(1/2)x+f(0)
于是：
1)f(0)>0时
当x>(2/3)f(0)且x<2f(0)时，(-3/2)x+f(0)<0，(-1/2)x+f(0)>0

2)f(0)<0时
当x<(2/3)f(0)且x>2f(0)时，(-3/2)x+f(0)>0，(-1/2)x+f(0)<0
3)f(0)=0时
(-1/2)x<f(x)<(1/2)x
当x≠0时，必有异号
综上，当在其定义区间内，总有异号
因此，根据零点定理，至少∃x，使得：
φ(x)=f(x)-x=0成立，即：
f(x)=x
又∵φ'(x)=f'(x)-1
而：|f'(x)|<1/2，因此：
-3/2<φ'(x)<-1/2<0
即：φ(x)在其定义域内是减函数
∴φ(x)具有唯一的零点
综上：∃唯一的零点x，使得：f(x)=x成立
证毕！