Question

已知ABC是三角形ABC的三个内角和,向量m=(-1,根号3),n=(cosAsinA),且m*n=1。求角A

题目不变，若(1+sin2B)/cos方Bsin方B=3，求tanC

Answer 1

1.求A
m·n=(-1)*cosA+√3*sinA=√3sinA-cosA=[(√3)^+1^]*sin[A-arctan(1/√3)]
=2sin(A-π/6)
已知m·n=1
<=>sin(A-π/6)=1/2
∵A为△ABC的内角
∴0<A<π
<=>-π/6<A-π/6<5π/6
结合基本正弦函数y=sinx的图像，当自变量x∈(-π/6,5π/6)时，能使y=sinx=1/2的x值只有一个：x=π/6
∴A-π/6=π/6
<=>A=π/3

2.由已知：(1+sin2B)/(cos^B*sin^B)=3
<=>1+sin2B=3*sin^B*cos^B=(3/4)*4*sin^B*cos^B=(3/4)*(2sinBcosB)^
=(3/4)*sin^2B
<>3sin^2B-4sin2B-4=0
<=>(3sin2B+2)*(sin2B-2)=0
<=>sin2B=-2/3
设tanB=t,由万能公式，有：
sin2B=2t/(1+t^)=-2/3
<=>t^+3t+1=0
<=>t=(-3/2)±√5/2
即：tanB1=(√5-3)/2≈-0.38
或tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62

第1问已求A=π/3
<=>B+C=π-A=2π/3
∴0<B<2π/3
前方已求出tanB的两个值，它们均为负值，而通过已求出的sin2B=2sinB*cosB
=-2/3<0 <=> cosB<0,sinB>0 <=> tanB=sinB/cosB<0 再次验证了tanB<0的事实，因此，结合0<B<2π/3，可知π/2<B<2π/3
根据y=tanB的图像，可判断出tanB的范围：tanB<tan(2π/3)=-√3≈-1.73
比较刚才得出的两个tanB的值，舍去其中的tanB1=(√5-3)/2≈-0.38，保留tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62的值
于是，tanB的唯一值为：tanB=-(√5+3)/2

∴
tanC=tan(2π/3-B)=[tan(2π/3)-tanB]/[1+tan(2π/3)*tanB]
代入tan(2π/3)=-√3,tanB=-(√5+3)/2的值，可得出：
tanC=(3+√5-2√3)/(√15+3√3+2)≈0.16

Answer 2

首先这个向量应该是(cosA,sinA)吧，因为，m向量为（-1,3根号），且向量之积为一，所以-cosA+根号3倍sinA=1.再合并，得2sin(A-30度)=1.又在三角形中，所以角A=60度。真费时间的，这符号太不好整的老，下个问明天再给你解决吧。

Answer 3

1.求A
m·n=(-1)*cosA+√3*sinA=√3sinA-cosA=[(√3)^+1^]*sin[A-arctan(1/√3)]
=2sin(A-π/6)
已知m·n=1
<=>sin(A-π/6)=1/2
∵A为△ABC的内角
∴0<A<π
<=>-π/6<A-π/6<5π/6
结合基本正弦函数y=sinx的图像，当自变量x∈(-π/6,5π/6)时，能使y=sinx=1/2的x值只有一个：x=π/6
∴A-π/6=π/6
<=>A=π/3
2.由已知：(1+sin2B)/(cos^B*sin^B)=3
<=>1+sin2B=3*sin^B*cos^B=(3/4)*4*sin^B*cos^B=(3/4)*(2sinBcosB)^
=(3/4)*sin^2B
<>3sin^2B-4sin2B-4=0
<=>(3sin2B+2)*(sin2B-2)=0
<=>sin2B=-2/3
设tanB=t,由万能公式，有：
sin2B=2t/(1+t^)=-2/3
<=>t^+3t+1=0
<=>t=(-3/2)±√5/2
即：tanB1=(√5-3)/2≈-0.38
或tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62
第1问已求A=π/3
<=>B+C=π-A=2π/3
∴0<B<2π/3
前方已求出tanB的两个值，它们均为负值，而通过已求出的sin2B=2sinB*cosB
=-2/3<0
<=>
cosB<0,sinB>0
<=>
tanB=sinB/cosB<0
再次验证了tanB<0的事实，因此，结合0<B<2π/3，可知π/2<B<2π/3
根据y=tanB的图像，可判断出tanB的范围：tanB<tan(2π/3)=-√3≈-1.73
比较刚才得出的两个tanB的值，舍去其中的tanB1=(√5-3)/2≈-0.38，保留tanB2=-(√5+3)/2≈-2.62的值
于是，tanB的唯一值为：tanB=-(√5+3)/2
∴
tanC=tan(2π/3-B)=[tan(2π/3)-tanB]/[1+tan(2π/3)*tanB]
代入tan(2π/3)=-√3,tanB=-(√5+3)/2的值，可得出：
tanC=(3+√5-2√3)/(√15+3√3+2)≈0.16