Question

若一元二次不等式ax2+2x+a+1<0无解,求a的取值范围

为啥不能取等号

Answer 1

分类讨论a＝0不合题意（一元二次方程的二次项系数不为零）a＞0，对应二次函数图像是开口向上的抛物线，函数值恒大于等于零即可。a＜0，对应二次函数图像是开口向下的抛物线，所以原不等式一定有解。详情如图所示

供参考，请笑纳。

Answer 2

若a=0，不等式不可能无解；
若a＜0，抛物线开口向下，总有x使得不等式成立。
所以只能a＞0，而且△＜0，解出a的不等式就可以了。
解释一下，△不能等于0，因为如果这样，就有等于零的点，此时不等式不成立，也就不是无解。

Answer 3

方法如下，
请作参考：

Answer 4

解：若关于X的一元二次不等式aX²+2X+a+1<0无解即其解集为空集，则关于X的一元二次不等式aX²+2X+a+1≥0在R上恒成立，则有a>0(a=0时已不是一元二次不等式了…)且△≤0
△=4-4a(a+1)≤0，则a≥(√5-1)/2或a≤(-√5-1)/2
所以a的取值范围为[(√5-1)/2,+∞)
关于等号，应该可以取等号。
既然不等式小于零无解，则不等式可以大于或等于零，这样判别式可以取零，就有等号了…
括号里a=0的情况可省略！

Answer 5

不等式不叫“无解”， 应叫“解集是空集”。
ax^2+2x+a+1 < 0 解集是空集 , 则 ax^2+2x+a+1 ≥ 0
则 a > 0, 抛物线开口向上，且 △ = 4-4a(a+1) = 5-(2a+1)^2 ≤ 0，
则 2a+1 ≤ -√5 或 2a+1 ≥ √5，
解得 a ≤ -(1+√5)/2 或 a ≥ (√5-1)/2，
故得 a ≥ (√5-1)/2。