Question

10.已知点P在直线 l:x-y-6=0 上,点Q在圆 O:x^2+y^2=2 上,则|PQA？

Answer 1

首先，连接圆心O和点P，可以得到直线l'的方程为：$y = x - 6$。
由于点Q在圆上，所以它到圆心O的距离为2，即$OQ=2$。
又因为点P在直线l上，所以$PQ$垂直于直线l，即$PQ$与$l'$平行。
由于$l'$的斜率为1，所以$PQ$的斜率也为1。
设点$Q$的坐标为$(a,b)$，则$Q$到$l'$的距离为$\frac{|a-b-6|}{\sqrt{2}}$。
根据勾股定理，可以得到$PQ$的长度为$\sqrt{(a-6)^2+(b-6)^2}$。
因此，$|PQA|=\arctan\frac{\sqrt{(a-6)^2+(b-6)^2}}{\frac{|a-b-6|}{\sqrt{2}}}$。
将圆和直线的方程代入，可以得到以下方程组：
$\begin{cases}x^2+y^2=2 \ y=x-6 \end{cases}$
解得，$a=3$，$b=3\sqrt{2}$。
因此，$|PQA|=\arctan\frac{\sqrt{(3-6)^2+(3\sqrt{2}-6)^2}}{\frac{|3-3\sqrt{2}-6|}{\sqrt{2}}}=\arctan\frac{\sqrt{22}}{3-\sqrt{2}}\approx 1.205$（弧度制）。