Question

13.由曲线 y=x^2 , y=1-x^2 所围成图形的面积为 __？

Answer 1

曲线 y=x^2 , 与y=1-x^2交于点(土1/√2,1/2），
它们所围成的图形面积=∫<-1/√2,1/√2>(1-x^2-x^2)dx
=(x-2x^3/3)|<-1/√2,1/√2>
=√2-√2/3
=2√2/3.

Answer 2

首先求这两个曲线的交点：
y = x² = 1 - x²
所以两个交点为：(-√2/2, 1/2) 和 (√2/2, 1/2)。
在 x ∈[-√2/2, √2/2] 范围内，求所围面积：
S = ∫dS
= ∫(1-x²-x²)dx
= ∫(1-2x²)dx
= (x - 2/3 * x³)|x=-√2/2 → √2/2
= [(√2/2) - (-√2/2)] - 2/3 * [(√2/2)³ - (-√2/2)³]
= √2 - 2/3 * (2√2/8 + 2√2/8)
= √2 - 2/3 * √2/2
= √2 - √2/3
= 2√2/3