在平面直角坐标系中,已知点A（0,a）,抛物线y＝－a(x－a)2＋b与x轴交于B、C两点（|OB|＜|OC|）,顶点为D,且AD∥BC,三角形ABO＝3 则满足条件的抛物线有（ ）．
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亲，在平面直角坐标系中,已知点A（0,a）,抛物线y＝－a(x－a)2＋b与x轴交于B、C两点（|OB|＜|OC|）,顶点为D,且AD∥BC,三角形ABO＝3 则满足条件的抛物线有（ 一条）．根据题意，可得：1、抛物线的标准式为 $y=-a(x-a)^2+b$。2、因为 $AD\parallel BC$，所以 $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{OD}{DC}$，即 $\dfrac{a}{|OB|}=\dfrac{a}{|OC|-a}$，解得 $|OC|=\dfrac{a}{1-\frac{a}{|OB|}}$。3、因为 $ABO$ 是等腰直角三角形，所以 $AB=BO$，即 $|OB|=\sqrt{a^2+3}$。代入上面的公式，可得 $|OC|=a\cdot\dfrac{\sqrt{a^2+3}}{a+\sqrt{a^2+3}}$。4、因为抛物线的顶点为 $D(-a,b)$，所以 $b=-a^2$。代入抛物线的标准式，可得 $y=-a(x-a)^2-a^2$。5、因为抛物线与 $x$ 轴交于 $B$ 和 $C$ 两点，所以当 $y=0$ 时，$x$ 的解为 $x=a\pm\sqrt{\dfrac{a^2}{1-\frac{a}{|OB|}}+a}$。将 $y=0$ 代入抛物线的标准式，可得抛物线的焦点为 $F(0,-\frac{a}{4})$。6、根据抛物线的性质可知，焦距为 $p=\dfrac{1}{4a}$，故 $-\frac{a}{4}=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{8a}$，解得 $a=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$。代入 $|OC|$ 的公式，可得 $|OC|=\sqrt{2}$。综上所述，满足条件的抛物线只有一条，即 $y=-\dfrac{1}{4}(x+\dfrac{1}{2\sqrt{2}})^2-\dfrac{1}{8}$。
咨询记录 · 回答于2023-03-07
在平面直角坐标系中,已知点A（0,a）,抛物线y＝－a(x－a)2＋b与x轴交于B、C两点（|OB|＜|OC|）,顶点为D,且AD∥BC,三角形ABO＝3 则满足条件的抛物线有（ ）．
亲，在平面直角坐标系中,已知点A（0,a）,抛物线y＝－a(x－a)2＋b与x轴交于B、C两点（|OB|＜|OC|）,顶点为D,且AD∥BC,三角形ABO＝3 则满足条件的抛物线有（ 一条）．根据题意，可得：1、抛物线的标准式为 $y=-a(x-a)^2+b$。2、因为 $AD\parallel BC$，所以 $\dfrac{AO}{AB}=\dfrac{OD}{DC}$，即 $\dfrac{a}{|OB|}=\dfrac{a}{|OC|-a}$，解得 $|OC|=\dfrac{a}{1-\frac{a}{|OB|}}$。3、因为 $ABO$ 是等腰直角三角形，所以 $AB=BO$，即 $|OB|=\sqrt{a^2+3}$。代入上面的公式，可得 $|OC|=a\cdot\dfrac{\sqrt{a^2+3}}{a+\sqrt{a^2+3}}$。4、因为抛物线的顶点为 $D(-a,b)$，所以 $b=-a^2$。代入抛物线的标准式，可得 $y=-a(x-a)^2-a^2$。5、因为抛物线与 $x$ 轴交于 $B$ 和 $C$ 两点，所以当 $y=0$ 时，$x$ 的解为 $x=a\pm\sqrt{\dfrac{a^2}{1-\frac{a}{|OB|}}+a}$。将 $y=0$ 代入抛物线的标准式，可得抛物线的焦点为 $F(0,-\frac{a}{4})$。6、根据抛物线的性质可知，焦距为 $p=\dfrac{1}{4a}$，故 $-\frac{a}{4}=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{8a}$，解得 $a=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$。代入 $|OC|$ 的公式，可得 $|OC|=\sqrt{2}$。综上所述，满足条件的抛物线只有一条，即 $y=-\dfrac{1}{4}(x+\dfrac{1}{2\sqrt{2}})^2-\dfrac{1}{8}$。
好的
谢谢老师
很详细
亲，亲，应该的哦
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