Question

(1)设L为曲线+|x|+|y|=1=1+求_L(ds)/(|x|+|y|)|

Answer 1

问：(1)设L为曲线+|x|+|y|=1=1+求_L(ds)/(|x|+|y|)|

答：根据题目给出的曲线方程，可以将其转化为下面四段函数之和：y = 1 - xy = x - 1y = -1 + xy = -x + 1我们要求的是L(ds)/(|x|+|y|)L(ds)/(∣x∣+∣y∣)，其中 L(ds)L(ds) 表示曲线 L 上微小长度元素 dsds，而 |x|+|y|∣x∣+∣y∣ 是曲线上每个点 (x, y)(x,y) 到坐标轴的距离之和。因此，我们有：L(ds) = \sqrt{dx^2 + dy^2}L(ds)= dx 2 +dy 2 ​ 注意到曲线 L 是一个由四条线段组成的闭合曲线，可以分别对每一条线段的长度进行计算，并将结果相加得到整个曲线的长度。对于第一条线段 y = 1 - xy=1−x，它的起点是 (0,1)(0,1)，终点是 (1,0)(1,0)。我们可以通过参数方程 x = t, y = 1 - tx=t,y=1−t 来表示这个线段，其中 tt 的取值范围是 [0, 1][0,1]。因此，沿着这条线段的微小长度元素为：ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{2} dtds= ( dtdx​ ) 2 +( dtdy​ ) 2 ​ dt= 2​ dt另一方面，|x|+|y|=\begin{cases}1+x&x\ge 0,y\ge 0\\1-x&x\ge 0,y<\\1-x&x<0,y\ge 0\\1+x&x<0,y<0\end{cases}∣x∣+∣y∣= ⎩⎨⎧​ 1+x1−x1−x1+x​ x≥0,y≥0x≥0,y

答：我们有：\frac{L(ds)}{|x| + |y|} = \frac{1}{max\left\{\begin{array}{c}1+t, 1-t, t, t-1\end{array}\right\}} = \left\{\begin{array}{c}\frac{1}{1+t},\hspace{0.5cm} 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\\frac{1}{1-t},\hspace{0.5cm} \frac{1}{2} \leq t \leq 1\end{array}\right.∣x∣+∣y∣L(ds)​ = max{ 1+t,1−t,t,t−1​ }1​ ={ 1+t1​ ,0≤t≤ 21​ 1−t1​ , 21​ ≤t≤1​ 于是，我们可以分别对第一段和第二段进行积分，并将结果相加：\begin{aligned}\int_L \frac{L(ds)}{|x|+|y|}\,ds &= \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{2}}{1+t} dt + \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\sqrt{2}}{1-t} dt\\&= \sqrt{2} \ln(1+t)\bigg|_0^{\frac{1}{2}}-\sqrt{2} \ln(1-t) \bigg|_{\frac{1}{2}}^1\\&= \sqrt{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)+\sqrt{2}\ln\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)\\&=\boxed{2\sqrt{2}\ln(\sqrt{2}+1)}\end{aligned} ∫ L​ ∣x∣+∣y∣L(ds)​ ds​ =∫ 021​ ​ 1+t2​ ​ dt+∫ 21​ 1​ 1−t2​ ​ dt= 2​ ln(1+t) ​ 021​ ​ − 2​ ln(1−t) ​ 21​ 1​ = 2​ ln( 2​ −12​ +1​ )+ 2​