Question

在等比数列an中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于

Answer 1

解：

设{an}公比为q，(q≠0)

an=a1·qⁿ⁻¹

设{an +1}公比为q'，(q'≠0)

a1+1=2+1=3

q'=[a(n+1)+1]/(an +1)

=(a1·qⁿ+1)/(a1·qⁿ⁻¹+1)

=q(a1·qⁿ⁻¹ +1/q)/(a1·qⁿ⁻¹+1)

=q(a1·qⁿ⁻¹ +1 +1/q -1)/(a1·qⁿ⁻¹+1)

=q·(a1·qⁿ⁻¹+1)/(a1·qⁿ⁻¹+1) +q·(1/q -1)/(a1·qⁿ⁻¹+1)

=q+ (1-q)/(a1·qⁿ⁻¹+1)

(1-q)/(a1·qⁿ⁻¹+1)中，分子1-q为常数，分母a1·qⁿ⁻¹+1的取值与n的取值有关

要q'为常数，只有1-q=0

即：当且仅当q=1时，(1-q)/(a1·qⁿ⁻¹+1)的值恒为0，与n的取值无关。

an=a1·qⁿ⁻¹=2·1ⁿ⁻¹=2

Sn=a1+a2+...+an=2n

Sn的值为2n

以上即为严谨的推导过程。

Answer 2

(an)^2=[a(n-1)][a(n+1)](1)
[(an)+1]^2=[a(n-1)+1][a(n+1)+1]
(an)^2+2(an)+1=[a(n-1)][a(n+1)]+[a(n-1)]+[a(n+1)]+1(2)
(2)-(1)
2(an)+1=[a(n-1)]+[a(n+1)]+1
2(an)=[a(n-1)]+[a(n+1)]
说明an既是等比数列，也是等差数列，所以an数列各项都是2，sn=2n

Answer 3

2n

追答

an是常数列2

追问

可以写过程吗？

追答

an+1是等比数列的话，用等比中项做

再结合an是等比数列，也有个等比中项的那个式子