第五道 题目
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用洛必达法则
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为了解题方便，设 y = (2^x + 3^x + 5^x)^(1/x)，则：
lim(lny) = lim{[ln(2^x + 3^x + 5^x)]/x}
这是一个 ∞/∞ 类型的极限，可以使用罗必塔法则：
=lim[(2^x *ln2 + 3^x *ln3 + 5^x * ln5)/(2^x + 3^x + 5^x)]/1
=lim[(2/5)^x *ln2 + (3/5)^x *ln3 + ln5]/[(2/5)^x + (3/5)^x + 1]
=lim[0 * ln2 + 0 * ln3 + ln5]/[0 + 0 + 1]
=ln5
所以，
lim(y)
=lim e^(lny)
=e^[lim(lny)]
=e^(ln5)
=5
lim(lny) = lim{[ln(2^x + 3^x + 5^x)]/x}
这是一个 ∞/∞ 类型的极限，可以使用罗必塔法则：
=lim[(2^x *ln2 + 3^x *ln3 + 5^x * ln5)/(2^x + 3^x + 5^x)]/1
=lim[(2/5)^x *ln2 + (3/5)^x *ln3 + ln5]/[(2/5)^x + (3/5)^x + 1]
=lim[0 * ln2 + 0 * ln3 + ln5]/[0 + 0 + 1]
=ln5
所以，
lim(y)
=lim e^(lny)
=e^[lim(lny)]
=e^(ln5)
=5
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