Question

如图，在直角三角形ABC中，角ABC等于90度，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，

设BP=x,若能在AC边上找到一点Q，使角BQP=90度，则x的取值范围是————。

Answer 1

当点Q在以BP为直径的圆上时满足角BQP=90度
所以要求BP的最小值,只要求圆的半径即OQ的最小值
显然,当圆O与AC相切时半径OQ最小,这时OQ垂直AC
这时有三角形OQC与ABC相似
所以OC/AC=OQ/AB
其中AB=3,BC=4,AC=5,BP=x,OB=1/2x,OC=4-1/2x,OQ=1/2x
所以 (4-1/2x)/5=(1/2x)/3
x=3即BP的最小值是3
又,过B作BQ'垂直AC,则三角形BQ'C是直角三角形,点Q',点C即为所求的点Q,点P
此时BP=4,即BP的最大值是4

所以x的取值范围是 3≤x≤4