Question

已知圆O的方程为x2+y2=16． （1）求过点M（-4，8）的圆O的切线方程； （2）过点N（3，

已知圆O的方程为x2+y2=16．
（1）求过点M（-4，8）的圆O的切线方程；
（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率． 第二问用三种方法

Answer 1

解：设切线为y-8=k(x+4)即kx-y+4k+8=0
圆心（0，0）到直线的距离为半径2
所以
｜4k+8｜/√(1+k²)=2
(4k+8)²=4+4k²
16k²+64k+64=4+4k²
12k²+64k+60=0
3k²+16k+15=0
k=(-16±2√19)/6=(-8±√19)/3
(√19-8)x-3y+4√19-8=0或(√19+8)x+3y+4√19+8=0
（2）设过点N的直线x=my+3
代入圆的方程x²+y²=4
m²y²+6my+9+y²=4
(m²+1)y²+6my+5=0
y1+y2=-6m/(m²+1)
y1*y2=5/(m²+1)
S三角形AOB=1/2*3/√(1+m²)*√(1+m²)[(y1+y2)²-4y1y2]
=3/2*√[(36m²/(m²+1)²-20/(m²+1)]
令t=36m²/(m²+1)²-20/(m²+1)
t=(36m²-20m²-20)/(m²+1)²
=16(m²-5/4)/(m²+1)²
=16(m²+1-9/4)/(m²+1)²
=16/(m²+1)-36/(m²+1)²
令1/(m²+1)=s
t=16s-36s²=-36(s²-4/9s)=-36(s-2/9)²+16/9
当s=2/9即1/(m²+1)=2/9时
m=±√(7/2)
t最大值=16/9此时S三角形AOB的最大值=3/2×4/3=2
直线斜率为k=1/m=±√(2/7)=±√14/7