已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)+xf'(x)<0且f(-4)=0,求不等式xf(x)>0的解集.
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f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), f'(-x)=-f'(x), f(4)=f(-4)=0
x<0时, f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0, ∴xf(x)在(-∞,0)上单调减
f(-4)=0,即x=-4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为x<-4
x>0时, -x<0, 则f(-x)-xf'(-x)<0, 即f(x)-x[-f'(x)]=f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0 ∴xf(x)在(0, ∞)上单调减
f(4)=0,即x=4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为0<x<4
x=0时, xf(x)=0
综上,xf(x)>0的解为(-∞,-4)∪(0,4)
x<0时, f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0, ∴xf(x)在(-∞,0)上单调减
f(-4)=0,即x=-4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为x<-4
x>0时, -x<0, 则f(-x)-xf'(-x)<0, 即f(x)-x[-f'(x)]=f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0 ∴xf(x)在(0, ∞)上单调减
f(4)=0,即x=4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为0<x<4
x=0时, xf(x)=0
综上,xf(x)>0的解为(-∞,-4)∪(0,4)
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