Question

如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，①猜想DE与

如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，①猜想DE与AB的关系？并加以证明；②若P是AB延长线一点，Q为BC一点，其他条件不变，结论成立吗？画图并证明．（友情引导：若不知道，你可以动手去量发现结论．若不会，P是动点，你可以把P运动到特殊的地方，发现现在可利用什么性质？接下来证明．发现缺少什么？就补什么？若还不会，你能发现有线段相等吗？尝试证明，你会有惊喜．）

Answer 1

（1）过P做BC的平行线至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF为等边三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF＝∠QDC ∠DPE＝∠DQC PF＝CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=DE+AE+CD=DE+EF+FD=2DE．
∴AB=2DE．
（2）过P做BC的平行线至AC于F，

∵PF∥BC，∴△APF为等边三角形，
∵PE⊥AF，∴AE=EF
∵AP=PF，QP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，

∠PDF＝∠QDC ∠DPF＝∠DQC PF＝CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∴AC=CD+AD=DF+AD=DE+EF+AD=DE+AE+AD=2DE．
∴AB=2DE．