Question

如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME ∥ AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF= 1 2

如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME ∥ AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF= 1 2 （AB+AC）．

Answer 1

证明：过B作BN ∥ AC交EM延长线于N点， ∵BN ∥ AC，BM=CM， ∴CF：BN=CM：BM，∠CFM=∠N， ∴CF=BN， 又∵AD ∥ ME，AD平分∠BAC， ∴∠CFM=∠DAC=∠E， ∴∠E=∠N， ∴△BEN是等腰三角形， ∴BE=BN=CF， ∵∠EFA=∠CFM， ∴∠E=∠EFA， ∴AE=AF， AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC， 即BE=CF= 1 2 （AB+AC）．