Question

如图，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，点E为BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB=DE．（1）求证：

如图，在△ABC和△DBC中，已知∠ACB=∠DBC=90°，点E为BC的中点，DE⊥AB，垂足为F，且AB=DE．（1）求证：△DBC是等腰Rt△；（2）若BD=8cm，求AC的长；（3）在（2）的条件下求BF的长．

Answer 1

（1）证明： ∵DE⊥AB， ∴∠4=90°=∠ACB=∠EBD， ∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ACB和△EBD中， ∵ ∠1=∠3 ∠ACB=∠EBD AB=DE ， ∴△ACB≌△EBD（AAS）， ∴BC=BD， ∵∠EBD=90°， ∴△CBD是等腰直角三角形； （2）∵BC=BD=8cm，△ACB≌△EBD， ∴AC=BE， ∵E为BC中点， ∴BE= 1 2 BC=4cm， ∴AC=BE=4cm； （3）在Rt△EBD中，BD=8cm，BE=4cm，由勾股定理得：DE=4 5 cm， 在△EBD中，S △EBD = 1 2 ×BE×BD= 1 2 ×DE×BF， ∴BE×BD=DE×BF， ∴4cm×8cm=4 5 cm×BF， ∴BF= 8 5 5 cm．