Question

（2014?甘肃二模）如图，直三棱柱ABC=A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D

（2014?甘肃二模）如图，直三棱柱ABC=A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点且CEEB=13．（Ⅰ）证明：DE∥平面A1MC1；（Ⅱ）若AB=2，求三棱锥E-A1MC1的体积．

Answer 1

解析：（Ⅰ） 取BC中点为N，连结MN，C₁N，
∵M，N分别为AB，CB中点
∴森亮MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，…（3分）
∵

CE

EB

＝

1

3

，BC中点为N，
∴E是CN中点，又D为CC₁的中点，
∴ED∥NC₁，又ED?平面A₁MC₁，NC₁?平面A₁MC₁，DE∥平面A₁MC₁…（6分）
（Ⅱ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，
∴AA₁⊥AB，∵5，AC∩AA₁，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，∴AM⊥平面A₁MC₁，凯春族
∵DE∥平面A₁MC₁，∴

V

E?A1MC1

=

V

D?A1MC1

=

V

M?A1C1D

，

V

M?A1C1D

=

1

3

×AM×

1

2

×DC1×A1C1＝盯弊

2

12

所以三棱锥E-A₁MC₁的体积为

2

12

…（12分）