Question

（2010?朝阳区一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中

（2010?朝阳区一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面A1EB；（Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1EB；（Ⅲ）求直线B1E与平面AA1C1C所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）设AB₁和A₁B的交点为O，连接EO，连接OD．
因为O为AB₁的中点，D为AB的中点，
所以OD∥BB₁且OD=

1

2

BB1．又E是CC₁中点，
所以EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，
所以EC∥OD且EC=OD．
所以，四边形ECOD为平行四边形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，则CD∥平面A₁BE．（5分）
（Ⅱ）因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因为CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因为侧面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．（10分）

（Ⅲ）解：取A₁C₁中点F，连接B₁F，EF．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因为BB₁⊥平面ABC，
所以侧面ACC₁A₁⊥底面A₁B₁C₁．
因为底面A₁B₁C₁是正三角形，且F是A₁C₁中点，
所以B₁F⊥A₁C₁，所以B₁F⊥侧面ACC₁A₁．
所以EF是B₁E在平面ACC₁A₁上的射影．
所以∠FEB₁是B₁E与平面AA₁C₁C所成角
.sin∠BE1F=

B1F

B1E

=

15

5

．（14分）

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系．
设边长为2，可求得A（0，0，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），A₁（0，0，2），B(

3

，1，0)，B1(

3

，1，2)，E（0，2，1），D(

3

2

，

1

2

，0)，O(

3

2

，

1

2

，1)．
（Ⅰ）