Question

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线 y=

已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线 y= k x （x＞0）经过D点，交BC的延长线于E点，且OB?AC=160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为 y= 20 x （x＞0）；②E点的坐标是（4，8）；③sin∠COA= 4 5 ；④AC+OB= 12 5 ，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

过点C作CF⊥x轴于点F， ∵OB?AC=160，A点的坐标为（10，0）， ∴OA?CF= 1 2 OB?AC= 1 2 ×160=80，菱形OABC的边长为10， ∴CF= 80 OA = 80 10 =8， 在Rt△OCF中， ∵OC=10，CF=8， ∴OF= OC 2 - CF 2 = 10 2 - 8 2 =6， ∴C（6，8）， ∵点D时线段AC的中点， ∴D点坐标为（ 10+6 2 ， 8 2 ），即（8，4）， ∵双曲线 y= k x （x＞0）经过D点， ∴4= k 8 ，即k=32， ∴双曲线的解析式为：y= 32 x （x＞0），故①错误； ∵CF=8， ∴直线CB的解析式为y=8， ∴ y= 32 x y=8 ，解得 x=4 y=8 ， ∴E点坐标为（4，8），故②正确； ∵CF=8，OC=10， ∴sin∠COA= CF OC = 8 10 = 4 5 ，故③正确； ∵A（10，0），C（6，8）， ∴AC= (10-6 ) 2 +(0-8 ) 2 =4 5 ， ∵OB?AC=160， ∴OB= 160 AC = 160 4 5 =8 5 ， ∴AC+OB=4 5 +8 5 =12 5 ，故④正确． 故选C．