已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，求实数a的
已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）...
已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）若实数a∈[0，+∞），求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
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（1）∵函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|，
∴关于x的方程|f（x）|=g（x），
即为|x2-1|=a|x-1|，
即为|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然x=1是方程的根，
∵关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，
∴方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的根或者无根，
结合函数图象可得，a＜0，
∴实数a的取值范围为a＜0；
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即为（x2-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，
①当x=1时，0≥0显然恒成立，
∴a∈R；
②当x≠1时，（x2-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，可变形为a≤
对x∈R恒成立，
令φ（x）=
=
，
∵当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，
∴a≤-2，
综合①②，实数a的取值范围为a≤-2；
（3）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1=
，
①当
＞1，即a＞2时，结合函数的图象可知，h（x）在[-2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
②当0≤
≤1，即0≤a≤2时，结合函数图象可知h（x）在[-2，1]，[-
，1]上单调递减，在[-1，-
]，[1，2]上单调递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-
）=
∴关于x的方程|f（x）|=g（x），
即为|x2-1|=a|x-1|，
即为|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然x=1是方程的根，
∵关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解x=1，
∴方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的根或者无根，
结合函数图象可得，a＜0，
∴实数a的取值范围为a＜0；
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，
即为（x2-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，
①当x=1时，0≥0显然恒成立，
∴a∈R；
②当x≠1时，（x2-1）≥a|x-1|对x∈R恒成立，可变形为a≤
| x2?1 |
| |x?1| |
令φ（x）=
| x2?1 |
| |x?1| |
|
∵当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，
∴a≤-2，
综合①②，实数a的取值范围为a≤-2；
（3）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1=
|
①当
| a |
| 2 |
h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
②当0≤
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-
| a |
| 2 |
