Question

已知y＝3cos2x+23sinxcosx+sin2x，x∈R．求：（1）函数的最小正周期；函数的单调减区间；（2）当x∈[?π4

已知y＝3cos2x+23sinxcosx+sin2x，x∈R．求：（1）函数的最小正周期；函数的单调减区间；（2）当x∈[?π4，π4]时，函数的最大值、最小值；（3）函数的图象是y=sinx经过怎样的变化得到的？

Answer 1

y=3cos²x+2

3

sinxcosx+sin²x
=3×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+

1?cos2x

2

=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2，
（1）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
则函数的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
则函数的最大值为4，最小值为2-

3

；
（3）y=sinx图象向左平移

π

6

个单位，得到y=sin（x+

π

6

），
横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x+

π

6

），
纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到y=2sin（2x+

π

6

），
向上平移2个单位，得到y=2sin（2x+

π

6

）+2．