Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. ①试说明AC＝EF；②求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

见解析

本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定 ①由△ABE是等边三角形可得AB＝AE，∠BAE＝60°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，可得源旁∠ABC＝60° 即可得到∠ABC＝∠BAE，再有EF⊥AB，，即可根据AAS证得△ACB≌△EFA，即得结果； ②由△ACD是等边三角形可得AC＝AD，∠DAC＝60°，即可证得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证雹陪橡得结果。 ①∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°. 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴乱塌∠ABC＝∠BAE. ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠ACB＝90°， ∴△ACB≌△EFA(AAS)， ∴AC＝EF. ②∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠DAC＝60°. 又∵AD＝EF，∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA. ∴AD∥EF ∴四边形ADFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．