小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E
小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四...
小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S 四边形ABCD =S △ ABF （S表示面积） 问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由． 实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km 2 ）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25， ≈1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（ ， ）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．
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| 问题情境：证明见解析；问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小；实际应用：10.3km 2 ．拓展延伸：10. |
| 试题分析：问题情境：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论； 问题迁移：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论； 实际运用：如图3，作PP 1 ⊥OB，MM 1 ⊥OB，垂足分别为P 1 ，M 1 ，再根据条件由三角函数值就可以求出结论； 拓展延伸：分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值； 当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论． 问题情境：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE． ∵点E为DC边的中点， ∴DE=CE． ∵在△ADE和△FCE中，  ，∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴S△ADE=S△FCE， ∴S 四边形ABCE +S △ADE =S 四边形ABCE +S △FCE ， 即S四边形ABCD=S△ABF； 问题迁移：当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，如图2，  过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G， 由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON． ∵S四边形MOFG＜S△EOF， ∴S△MON＜S△EOF， ∴当点P是MN的中点时S△MON最小； 实际运用：如图3，  作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1， 在Rt△OPP1中， ∵∠POB=30°， ∴PP 1 =  OP=2，OP 1 =2 ．由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小， ∴MM1=2PP 1 =4，M 1 P 1 =P 1 N． 在Rt△OMM 1 中， tan∠AOB=  ，2.25=  ，∴OM 1 =  ，∴M 1 P 1 =P 1 N=2 - ，∴ON=OP 1 +P 1 N=2 +2 - =4 - ．∴S△MON= ON?MM 1 = （4 - ）×4=8 - ≈10.3km 2 ．拓展延伸：①如图4，当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D， ∵C（  ， ），∴∠AOC=45°， ∴AO=AD． ∵A（6，0）， ∴OA=6， ∴AD=6． ∴S△AOD= ×6×6=18，由问题迁移的结论可知，当PN=PM 
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