Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2=a（a+b），cos（A-B）+cosC=1-cos2C，试求a+cb的值

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2=a（a+b），cos（A-B）+cosC=1-cos2C，试求a+cb的值．

Answer 1

∵cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴cos（A-B）+cosC=2sinAsinB，
又∵cos（A-B）+cosC=1-cos2C=2sin²C，
∴2sinAsinB=2sin²C，结合正弦定理得ab=c²，
∵b²=a（a+b）=a²+ab，
∴b²=a²+c²，可得△ABC是以B为直角的直角三角形．
∵c²=ab=b²-a²，
∴(

a

b

)2+

a

b

?1＝0，

a

b

＝

5 ?1

2

（负值舍去），
∴

c

b

＝

1?( a b )2

＝

5 ?1 2

，
∴

a+c

b

=

5 ?1

2

+

5 ?1 2

．