Question

（2013?成都二模）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A1B1C1中，AC=AA1=2AB=2，∠BAC=90°

（2013?成都二模）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A1B1C1中，AC=AA1=2AB=2，∠BAC=90°，点D是侧棱CC1 延长线上一点，EF是平面ABD与平面A1B1C1的交线．（I）求证：EF丄A1C；（II）当直线BD与平面ABC所成角的正弦值为31414时，求三棱锥D-EFC1的体积．

Answer 1

（I）证明：由题意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∵平面ABC∩平面ABD=AB，平面A₁B₁C₁∩平面ABD=EF
∴EF∥AB
∵直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AA₁，AB⊥AC
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴EF丄A₁C；
（II）解：当直线BD与平面ABC所成角的正弦值为

3 14

14

时，CD=3
∴DC₁=1
∴S△EFC1＝

1

2

×

2

3

×

1

3

=

1

9

∴VD?EFC1=

1

3

×

1

9

=

1

27

．