Question

设a大于0，f(x)等于a分之e的x方+ex分之a是R上的偶函数 1)求 a的值 2)证明f(

设a大于0，f(x)等于a分之e的x方+ex分之a是R上的偶函数 1)求 a的值 2)证明f(x)在(0,+无穷)上是增函数

Answer 1

（1）f(x)=e^x/a+a/e^x
f(-x)=1/a*e^x+a*e^x
偶函数，则f(-x)=f(x)
所以
1/a*e^x=a/e^x
e^x/a=a*e^x
所以 a=1/a
a^2=1
因为 a>0
所以 a=1
（2）
f(x)=e^x+1/e^x
设0<x1<x2
则
f(x1)-f(x2)
=(e^x1+1/e^x1)-(e^x2+1/e^x2)
=(e^x1-e^x2)+(1/e^x1-1/e^x2)
=(e^x1-e^x2)+[(e^x2-e^x1)/e^x1*e^x2]
=(e^x1-e^x2)(1-1/e^x1*e^x2)
=(e^x1-e^x2)(e^x1*e^x2-1)/e^x1*e^x2
因为 0<x1<x2
e^x1-e^x2<0 e^x1*e^x2-1>0 e^x1*e^x2>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
即 f(x1)<f(x2)
所以 f(x)在(0,+无穷)上是增函数

追问

写纸上可以不