Question

如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP 2 +BP?PC的值为______；若BC边上有100个不同的点P 1 ，P 2

如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP 2 +BP?PC的值为______；若BC边上有100个不同的点P 1 ，P 2 ，…，P 100 ，记m i =AP i 2 +BP i ?P i C（i=1，2，…，100），则m 1 +m 2 +…+m 100 的值为______．

Answer 1

过A作AF⊥BC于F． 在Rt△ABF中，AF 2 =AB 2 -BF 2 ； 在Rt△APF中，AF 2 =AP 2 -FP 2 ； ∴AB 2 -BF 2 =AP 2 -FP 2 ； 即AB 2 =AP 2 +BF 2 -FP 2 =AP 2 +（BF+FP）（BF-FP）； ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=FC； ∴BF-FP=CF-FP=PC； ∴AB 2 =AP 2 +BP?PC=4， 故答案为：4； 作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD． 根据勾股定理，得 AP i 2 =AD 2 +DP i 2 =AD 2 +（BD-BP i ） 2 =AD 2 +BD 2 -2BD?BP i +BP i 2 ， 又P i B?P i C=P i B?（BC-P i B）=2BD?BP i- BP i 2 ， ∴M i =AD 2 +BD 2 =AB 2 =4， ∴M 1 +M 2 +…+M 100 =4×100=400． 故答案为：400．