Question

∫∫∫Ω(x^2+y^2)dv,其中Ω是为上半球面z=√a2-x2-y2与上锥面z=√x2+y2所

∫∫∫Ω(x^2+y^2)dv,其中Ω是为上半球面z=√a2-x2-y2与上锥面z=√x2+y2所围成闭区域

Answer 1

答：(8 - 5√2)πa⁵/30

 

被积函数只有x² + y²，但考虑到锥面和球面，球坐标最适合

x = r sinφ cosθ

y = r sinφ sinθ

z = r cosθ

dV = r²sinφ drdφdθ

锥面在下，球面在上

√(x² + y²) ≤ z ≤ √(a² - x² - y²)

x² + y² = r²sin²φ，0 ≤ φ ≤ π/4

∫∫∫_(Ω) (x² + y²) dV

= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/4) sinφ dφ ∫(0,a) r²sin²φ * r² dr

= (2π)∫(0,π/4) sin³φ dφ ∫(0,a) r⁴ dr

= (2π) * (8 - 5√2)/12 * a⁵/5

= (8 - 5√2)πa⁵/30

 

如果用柱坐标的话，有一点要注意

交圆：a² - x² - y² = x² + y² ==> x² + y² = a²/2

即0 ≤ r ≤ a/√2

球坐标和柱坐标的半径变化是不同的，一个从原点出发，一个从z轴出发

运用柱坐标的结果如下：

∫(0,2π) dθ ∫(0,a/√2) r dr ∫(r,√(a²-r²)) r² dr