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解：∵ydy/dx=x(y^4+2y^2+1)
==>2ydy/(y^4+2y^2+1)=2xdx
==>d(y^2+1)/(y^2+1)^2=d(x^2)
==>∫d(y^2+1)/(y^2+1)^2=∫d(x^2)
==>-1/(y^2+1)=x^2+C (C是任意常数)
==>(x^2+C)(y^2+1)+1=0
∴此方程的通解是(x^2+C)(y^2+1)+1=0
∵当x=4时，y=1
∴代入通解得 C=-33/2
故此方程满足所给初始条件的特解是(x^2-33/2)(y^2+1)+1=0。
==>2ydy/(y^4+2y^2+1)=2xdx
==>d(y^2+1)/(y^2+1)^2=d(x^2)
==>∫d(y^2+1)/(y^2+1)^2=∫d(x^2)
==>-1/(y^2+1)=x^2+C (C是任意常数)
==>(x^2+C)(y^2+1)+1=0
∴此方程的通解是(x^2+C)(y^2+1)+1=0
∵当x=4时，y=1
∴代入通解得 C=-33/2
故此方程满足所给初始条件的特解是(x^2-33/2)(y^2+1)+1=0。
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