Question

相对论中质量与速度关系式、速度合成公式详细的推导过程

Answer 1

1. 质量与速度关系式推导：S’系(其中静止一小球a’，质量m0)相对S系(其中静止一小球a，质量m0)沿x轴正向以速度v运动，
   
   设a’相对S系的质量为m，根据系统的对称性，a相对S’系的质量也为m;
   
   假设两小球碰撞后合为一体，相对S’系速度为u’，相对S系速度为u，在两参照系中动量守恒定律都成立，S系:mv=(m+m0)u，S’系:-mv=(m+m0)u’。
   
   由速度合成公式，u’=(u-v)/(1-uv/c^2)，而根据系统的对称性，u’=-u，可得:(v/u)^2-2v/u+(v/c)^2=0，解得:v/u=1±√(1-v^2/c^2)，由于v>u，故取v/u=1+√(1-v^2/c^2)。
   
   所以m=m0/(v/u-1)=m0/√(1-v^2/c^2).

2. 速度合成公式推导：　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2)) 　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) 　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　同理可得V(y),V(z)的表达式。